Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 8 - 6 \cdot 4$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$16 - 6 \cdot 4$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$16 - 24$

Étape 2.2.2

Soustrayez $24$ de $16$ .

$- 8$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 8} [\begin{array}{c} 8 & - 4 \\ - 6 & 2 \end{array}]$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{8} [\begin{array}{c} 8 & - 4 \\ - 6 & 2 \end{array}]$

Étape 6

Multipliez $- \frac{1}{8}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8} \cdot 8 & - \frac{1}{8} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 7.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{8}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{8} \cdot 8 & - \frac{1}{8} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.1.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{8} \cdot 8 & - \frac{1}{8} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.1.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - 1 & - \frac{1}{8} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{8}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{- 1}{8} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.2.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{- 1}{4 (2)} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.2.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{- 1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.2.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{- 1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.2.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{- 1}{2} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.3

Associez $\frac{- 1}{2}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{- - 1}{2} \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{8}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.5.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{2 (4)} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.5.3

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 3) & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.5.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 3) & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.5.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{4} \cdot - 3 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.6

Associez $\frac{- 1}{4}$ et $- 3$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{- - 3}{4} & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.7

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{8}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} & \frac{- 1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.8.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} & \frac{- 1}{2 (4)} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.8.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} & \frac{- 1}{2 \cdot 4} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.8.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} & \frac{- 1}{4} \end{array}]$

Étape 7.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} & - \frac{1}{4} \end{array}]$